複旦青年研究員從數學視角，揭示量子計算強大算力的理論基礎

【編者按】

2023年5月27日，是複旦大學118週年校慶。“校慶種種活動，以促進科學研究為中心。”從1954年校慶前夕時任校長陳望道提出這一主張開始，在校慶期間舉辦科學報告會，就成為複旦的重要學術傳統之一。

賡續學術傳統，百年絃歌不絕。5月9日起，來自文社理工醫各學科的50多位複旦名師將陸續帶來學術演講。

6月2日，“2023相輝校慶系列學術報告”第三十一場，由複旦大學數學科學學院青年研究員李穎洲以“從線性代數到量子計算”為題作報告。

經曆40多年的研究發展，量子計算從一個概念進入到落地實現階段。有別於經典計算機，量子計算機因為其不確定性和連續性的特徵而創造了一種新的計算範式，能夠在特定問題上實現指數級別加速。李穎洲從線性代數出發，以數學視角分析量子算法，揭示了量子計算強大算力背後的理論基礎。

線性代數：分析量子算法的工具

在經典計算機中，基本計算單位是比特，每個比特可以表示“0”和“1”。在二進製下，多個比特狀態可以表示一個數字，然後利用經典電路邏輯，如“與”、“或”、“非”等邏輯門進行各種運算。那麼量子計算機的基本單元是什麼呢？李穎洲通過與經典計算機對比引入了量子比特、量子邏輯門、測量等概念。

線性代數語言是精確描述這些概念不可或缺的工具。單個量子比特可以由複數域上任意單位長度的二維向量表示，單量子邏輯門則可以由2×2的酉矩陣表示，比如Pauli矩陣、Hadamard矩陣等等，而多量子比特的非耦合體系則由若幹個單量子比特體系通過張量積得到。

“這是量子計算最有吸引力的特徵之一，因為經典比特的離散化數字表達使得我們只能表示有限多個數，但量子比特的連續性讓它能夠表示任何一個複向量，這樣使得我們在設計量子算法時有了更多的可能。”李穎洲說，當多個量子比特耦合起來後，單量子邏輯門相當於可以作用在多個量子比特上，實現“隱形並行計算”。

李穎洲還指出，量子計算也引入了量子力學的不確定性，量子比特表示的量子態本質上是一個波函數。與“薛定諤的貓”一樣，不打開盒子之前我們無法知道貓的生死，量子比特必須經過測量才能得到可接收到的確定性信息，並且每次測量結果都可能不同，得到每個結果的概率由對應向量元素的模長平方決定。

在經典計算機中，計算結果“所見即所得”，因此經典算法不需要考慮測量對結果帶來的影響。但在設計量子算法時，我們往往需要將相同的量子線路運行若干次，用頻率去近似概率從而得到所需的計算結果。

量子計算是對經典計算的補充

從量子邏輯門到量子算法，李穎洲通過布爾函數的例子說明了簡單量子算法線路是如何構造的。在更廣泛的應用中，比如分子模擬、計算化學、密碼學等領域，量子計算更是展現了它強大的計算能力。

李穎洲分享了自己在電子結構計算領域的相關工作，包括設計量子算法來求解多體薛定諤方程中的基態與激發態能量問題，使得原本在經典計算中需要指數量級計算資源的問題，在VQE框架下約化為多項式量級的量子計算部分與傳統計算機上的參數優化部分。類似的想法可以為解決一部分困難的科學計算問題提供另一種思路。

然而，李穎洲也指出，量子計算並非對經典計算的完全超越，而是一種補充。在許多傳統問題上，量子計算並不能帶來有效的性能提升。“量子力學告訴我們量子態沒有通用的複製算法，這對我們複製未知的量子態造成了巨大困難，而經典計算機可以輕而易舉地做到這件事。”

量子計算遇到的另一個巨大困難，是算法噪音。任何量子計算機在運行時都不可能避免與環境發生相互作用，從而對量子比特存儲的量子態產生擾動，降低量子比特的表達能力，使得量子比特在實際運用時喪失連續性。如果量子線路深度過大，那最終的計算結果很可能被淹沒在大量噪聲中無法被測量到。所以在量子計算中，誤差校正算法也一直是研究的重點和難點，它決定了那些理論上的量子算法是否真的能通過量子計算機實現。

李穎洲表示，正是由於量子計算有自己獨特的優勢和劣勢，我們在設計量子算法的時候需要特別注意問題的特徵。因為量子計算的邏輯非常貼近微觀量子世界，所以它在解決量子力學帶來的科學計算問題上是非常有效的，這也將會是未來量子計算發展研究的重點之一。