陶哲軒推薦：2高中生發現勾股定理新證明，論文已發《美國數學月刊》

金磊 發自 凹非寺

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兩個高中生發現的勾股定理新證明，現在論文來了。

而且就在剛剛，數學大神陶哲軒在看完這篇論文之後評價道：

前幾年聽說這個消息時候，還沒有任何實質性的細節證明。

但現在，（在一些限制條件下）她們確實發現了至少五個新證明，而且跟任何已有的證明都不相同。

這兩位高中生分別是Ne’Kiya Jackson和Calcea Johnson。

她們在2022年發現勾股定理新證明的時候，正就讀於美國紐奧良的聖瑪麗學院（St. Mary’s Academy）。

勾股定理想必大家都已經非常熟悉了，包括那句耳熟能詳的「勾三股四弦五」，以及它的基本公式a2+b2=c2。

雖然這個定理已經有2500多年的歷史，但毫不誇張地說，它的重要性依然貫穿於現代數學之中。

當時她們二人提出新證明時，可以說是在圈內引起了不小的轟動。

因為長期以來，數學家們基本上都採用代數和幾何的方法來證明這個定理。

但她們採用的卻是三角學（Trigonometry，基於對角度及邊長之間關係的直接推導）這個數學分支來做證明。

這是特別具有挑戰性的一件事情。

因為三角學在很大程度上就是基於勾股定理，大多數情況下就會導致所謂的「循環論證」（circular reasoning），即證明過程中偷用了待證的結果。

早在1927年，數學家Elisha Loomis就曾斷言道：

使用三角學的規則無法完成對勾股定理的證明。

然而，就是這麼一個看似「不可能」的方法，卻被兩位高中生給突破了。

要知道，當時跟她倆採用類似方法做過證明的，只有2位專業的數學家——Jason Zimba和Nuno Luzia，分別於2009年和2015年提出。

而現如今，二人正式在《美國數學月刊》公佈了論文，把證明過程的細節內容都亮了出來，也得到了陶哲軒的認可。

更重要的是，這篇論文不僅詳細介紹了五種全新的證明方法，她們還提出了一個系統性的方法，預計能夠生成至少五種額外的新證明。

換言之，五個新證明是保底的，也可以達到十個！

其中，只有一個證明是她們在2023年3月參加學術會議時展示過的，另外九個是全新的。

那麼她們二人到底是如何做到，我們繼續往下看。

三角學證明和三個先決條件

首先，我們來瞭解她們二人對三角學證明的解釋。

三角學證明是使用三角函數的性質、恒等式和基本定理來證明幾何或代數命題的方法。

它通常利用三角函數（如正弦、餘弦、正切等）之間的關係，結合已知的三角恒等式和公式來得出結論。

實際上，正弦和餘弦的三角比率是為一個銳角α定義的，通過創建一個直角三角形ABC，其中α是兩個銳角之一，然後比較三條邊中的兩條的長度：

sinα定義為對邊BC與斜邊AB的比值，cosα是鄰邊AC與斜邊的比值。

但是，通過測量直角三角形來定義正弦或餘弦只對銳角有效，所有其他角度需要一個完全不同的方法。

對於這些角度，她們使用單位圓：

從點(1, 0)開始，向逆時針方向（對於負角是順時針方向）沿著圓移動，直到達到所需的中心角α，最終到達點(x, y)。然後我們定義cosα = x和sinα = y。

對於一個銳角，這兩種方法給出的正弦或餘弦函數值是相同的，如圖1所示：

實際上，這兩種方法之間的區別意味著，通過餘弦定理（我們從c² = a² + b² − 2abcosγ開始，讓γ成為一個直角）來證明勾股定理是一個圓的證明，而不是一個三角學的：

三角學不能計算一個直角的餘弦值，而圓的測量告訴我們cos(90°) = 0。

同樣，使用cos(α − β)的公式（讓α = β在恒等式cos(α − β) = cosαcosβ + sinα*sinβ中）來證明勾股定理也是圓的而不是三角學的，使用sin(α + β)的公式也是如此，其中α和β是互補角。

聲稱一個證明是三角學的也可以基於其他理由被否認。

例如，勾股定理最著名的證明之一使用了相似性△ABC ∼ △ACD ∼ △CBD，如圖3所示：由於a/c = x/a和b/c = y/b，有c = x + y = a²/c + b²/c，從而得出a² + b² = c²。

但這個證明可以很容易地被改寫為三角學。

由於a/c = x/a = sinα，有x = asinα = (csinα)sinα = csin²α，同樣y = ccos²α。然後c = x + y = c(sin²α + cos²α)，從中得出1 = sin²α + cos²α = (a/c)² + (b/c)²，因此a² + b² = c²。

但在這裏使用三角學術語並沒有增加任何東西——事實上，它只會使相同的方法更加複雜——因此可以說這個證明使用了相似三角形，而不是三角學。

更一般地，任何證明a² + b² = c²的證明都可以通過將csinα寫作a和ccosα寫作b（或者通過重新縮放邊a、b和c到sinα、cosα和1）來改寫為「三角」證明。

首先證明sin²α + cos²α = 1，之後反向替換sinα = a/c和cosα = b/c以顯示a² + b² = c²。

這種幻覺顯示需要對一個「三角」勾股定理的證明持懷疑態度，這種證明以這種迂迴的方式工作（即，首先證明恒等式sin²α + cos²α = 1）以確保「三角學」不僅僅是使用正弦和餘弦術語對邊長的不必要重述。

為了確保證明勾股定理的過程不依賴於循環論證，她們二人在論文中提到了三個先決條件（preliminaries）：

• 角度加法公式：

角度加法公式主要用於三角函數中的正弦和餘弦運算。

對於銳角α、β 和 α+β，正弦和餘弦滿足以下關係：

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ

這些公式可以確保在不依賴勾股定理的情況下，能夠對正弦和餘弦進行直接計算，從而保持證明的嚴謹性和獨立性。

• 正弦定理

正弦定理被用於分析某些三角形中邊長之間的關係。

正弦定理的核心是描述了三角形各邊的比例關係，當已知兩個角和它們的對邊時，可以確定第三邊的長度。正弦定理表述如下：

這些公式用於接下來的證明中的多個步驟，特別是用於連接和計算不同邊長，以便在已知特定角度的情況下得出邊長關係。

• 等腰直角三角形的特殊情況

等腰直角三角形中，兩個直角邊相等，這種對稱性簡化了許多計算。這種特殊三角形的邊長關係，直接得出邊長滿足勾股定理：

因此，對於等腰直角三角形，證明過程變得更加簡潔，因為兩邊的平方和直接等於斜邊的平方。

接下來，就到了關鍵的證明部分。

五至十個勾股定理新證明

為了便於閱讀和理解，這部分我們將直接放上證明的原文內容（公式著實不太好展示）。

第一個證明

第二個證明

第三個證明

第四個證明

第五個證明

除此之外，論文還對具體方法做了展開介紹。

二人先是提出了一個她們這項研究所要解決的基本問題，即：

我可以用給定的直角三角形△ABC創造出哪些新的直角三角形？

將對新三角形的構造限制在那些角度為△ABC的三個角度α、β和 90°（即 α+β）的整數倍之和或差的三角形上。

由此，這個問題的答案變得直接明了。

引理1

a) 如果 △ABC是一個等腰直角三角形（即 α=β=45°），那麼所有角度為 α和 β的整數線性組合的三角形都是等腰直角三角形。

b) 如果在直角三角形 △ABC中 α<β，則存在一個直角三角形，其銳角為 2α和 β−α。此外，對於每一對 {α,β}，2α和 β−α是唯一能夠形成直角三角形銳角的 α和 β的整數線性組合。

證明

a) 由於等腰三角形 △ABC的三個角度都是 45°的倍數，所以任何新三角形的所有角度（這些角度被限制為 △ABC的角度之和或差）仍然是 45°的倍數，因此我們得到的三角形必定是一個等腰直角三角形。換句話說，如果我們從等腰直角三角形開始，那麼無法構造出新的三角形。

b) 現在假設 α<β。如果新構造的直角三角形中的一個銳角為 mα+nβ（其中 m,n∈Z），則其補角為：

90°−(mα+nβ)=(α+β)−(mα+nβ)=(1−m)α+(1−n)β

如果整數 n和 1−n都不為零，那麼其中一個（假設為 n）是負數，那麼將 n替換為 ∣n∣我們可以看到其中一個角度是 mα−nβ，其中 m>n>0。

但是當 α的度數為 90n/(m+n)時，其補角 β的度數為 90m/(m+n)，這種構造將會產生一個角度 mα−nβ=m⋅90n/(m+n)−n⋅90m/(m+n)=0。

這表明我們必須有 n=0，即其中一個銳角度數是 mα的某個 m∈N。

如果 m=1，那麼我們簡單地恢復了原始三角形 △ABC。如果 m=2，那麼我們得到一個新的直角三角形，其銳角為 2α和 β−α（注意 2α<90°因為 α<45°）。

最後，我們看到 m≥3是不可能的，因為如果 30°≤α<45°，則不會存在這樣的三角形。

我們的引理確切地告訴我們如何尋找勾股定理的證明（對於非等腰直角三角形）：從我們的原始三角形ABC開始，我們儘可能多地嘗試創建一個新的直角三角形，其角度測量為2α、β − α和90°。

例如，創建一個2α角度的最簡單方法是結合兩個△ABC的副本，如圖13所示。

這創造了等腰三角形ABB’，其角度測量為2α、β和β，所以下一步是取其中一個測量為β的角度，並將其轉換為測量為β − α或90度的角度。

為了在頂點B’處創建一個90度的角度，我們構建一個射線，使其與BB’成α角度。如果我們然後延長邊AB以在點D處與射線相交，我們就得到了我們第一個證明的圖形（圖14）。

或者，如果我們在斜邊AB的另一側創建2α角度，並延長BC以在點D處與新射線相交，如下所示，我們得到了直接導致我們第二個證明的圖形（圖15）。

靈感來自一個高中數學競賽

但除了這次勾股定理的新證明之外，Ne’Kiya Jackson和Calcea Johnson背後的故事也是值得聊一聊。

在這篇論文的致謝部分中，她們也對此做了講述。

事情的起因是二人當年參加的一場高中數學競賽，其中就有一道加分題：

創建一種新的勾股定理證明方法，獎勵500美元。

於是，她們決定各自挑戰這道題目。

然而，這項任務比她們最初預想的要困難得多，二人花費了無數個不眠之夜，反復嘗試並失敗。經過大約一個月的努力，她們分別完成了自己的證明並提交了作業。

並且她們的數學老師Rich認為證明的方法足夠新穎，值得在數學會議上展示。

儘管她們對自己的工作並沒有太大的信心，但還是決定嘗試一下。

接下來的兩三個月中，二人把所有空閑時間都投入到完善和打磨她們的工作中。

她們既獨立工作也共同合作，不僅在放學後，甚至週末和假期都在繼續努力。

在此過程中，在Rich的指導下，她們創造了更多的證明方法。

儘管她們不確定是否有機會在會議上展示，因為通常只有專業數學家或偶爾的大學生能夠在這樣的會議上發言，但她們的高中作品最終還是受到了重視，並被批準在2023年3月的美國數學學會東南分會會議上展示。

Ne’Kiya和Calcea是會議中最年輕的與會者和演講者，雖然她們感到非常緊張，但想到這是她們所有努力的結晶，也讓她們有了信心去展示。

她們的演講獲得了成功，隨後也受到了美國數學學會的鼓勵，將其研究成果提交給學術期刊。

這對二人來說是最艱巨的任務，因為她們對撰寫學術論文毫無經驗。

當時，她們還在適應大學生活的各種挑戰，比如學習LaTeX代碼、完成小組的5頁論文、提交實驗數據分析等。

但在導師們的指導下，再加上大量的個人努力，她們最終完成了論文的撰寫。

現在回頭看這個過程，Ne’Kiya和Calcea在論文中這樣寫到：

到達這一步對我們來說並不容易，也不是一條直線前進的道路。

我們沒有任何現成的路線圖，也不確定工作是否會得到認可。很多次我們都想放棄，但最終，還是決定堅持到底，完成已經開始的事情。

而對於這篇論文，陶哲軒也發表了自己的想法：

這篇論文提醒了我們，即使是數學中最古老和最成熟的基礎結果，有時也可以從一個全新的角度重新審視。

除此之外，目前也有不少的數學家已經加入到了討論中：

完整論文放下面了，感興趣的小夥伴可以閱讀哦~

論文地址：https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2024.2370240#d1e4959

參考鏈接：

[1]https://mathstodon.xyz/@tao/113391326199704210

[2]https://www.sciencedaily.com/releases/2024/10/241028132143.htm