像球但又不是球？困擾數學界30年的「非常基本的問題」終破解

5位數學家不僅解決了一個高維幾何中的難題，而且讓數學界第一次看到了這些神秘的高維幾何對象可能長什麼樣子。雖然這些形狀很容易定義，但卻出奇地神秘。現在，研究人員終於可以進入幾何宇宙中曾經完全無法接近的一角。本文來自微信公眾號：返樸 （ID：fanpu2019），作者：嘉偉，題2圖來自：AI生成

不知道大家是否見過三角形輪子的單車。是的，騎起來挺平穩，不會顛簸。

把一個圓放在兩條平行線中間，使之與這兩條平行線保持相切。那麼無論我們如何轉動這個圓，這兩條平行線的距離始終不變。我們管這一性質叫定寬性。

然而，圓不是平面上唯一的定寬曲線。若以一個正三角形的三個頂點作為圓心，以邊長作為半徑，則包裹住正三角形的三段圓弧圍成的圖形，就是一條非圓定寬曲線。實際上，它是除圓之外最簡單和最著名的定寬曲線：Reuleaux三角形。

因為它的寬度是恒定的，所以Reuleaux三角形是「除了圓之外，還可以製作什麼形狀的井蓋」這個問題的一個答案。感興趣的朋友可以嘗試驗證一下它的定寬性質。

上面動圖里的單車，其輪胎的形狀正是Reuleaux三角形。定寬性可使單車平穩行駛，但由於工程和力學上的現實原因，Reuleaux三角形的輪胎目前並無實用性。不過，這並不意味著Reuleaux三角形僅能充當短影片里的噱頭——後文我們會介紹它在工業上的各種應用——它也是數學里重要的研究對象。

但最令人尷尬的一點反而是，歷史上對Reuleaux三角形和其它定寬曲線研究得越透徹，就愈發彰顯我們對三維，以及更高維度歐式空間里的定寬幾何體所知的匱乏。

耶路撒冷希伯來大學的數學榮譽教授Gil Kalai是當代組合學領域的領導者之一。他十多年前曾在數學社區MathOverflow上評論道：「恒定寬度的集合（球除外）沒有幸運地被選作Banach空間的範數，無法吸引強大的Banach空間理論的專家來研究它們在大維度下的漸近特性。」所以，數學界把高維空間定寬幾何研究攻入了冷宮。但他隨後筆鋒一轉：「……但它們（高維定寬幾何體）非常令人興奮，這看起來是一個非常基本的問題。」

此處「非常基本的問題」特指Oded Schramm（Kalai教授曾經的學生）於1988年在普林斯頓大學讀博期間提出的、看似很簡單的問題：我們能在任何維度上構造一個比球小指數級的定寬幾何體嗎？

這個非常基本的問題，困惑了數學界長達30多年。直到今年5月，5名研究人員報告說，答案是肯定的。

他們不僅解決了一個高維幾何中的難題，而且讓數學界第一次看到了這些神秘的高維幾何對象可能長什麼樣子。雖然這些形狀很容易定義，但卻出奇地神秘。現在，研究人員終於可以進入幾何宇宙中曾經完全無法接近的一角。

從二維到三維，以及更高的維度

定義三維空間里的定寬幾何對象（後文簡稱為定寬體）的方式，與前面定義定寬曲線的方式類似。只不過曲線是夾在兩條平行線之間，而立體對像要夾在兩個平行的平面之間。如果該立體對象無論怎麼運動，都不會改變平行平面的距離，那我們就稱其為三維定寬體。

類似地，可以定義一般n維空間里的定寬體。只不過要把平面換成n-1維的超平面。

三維空間里的球體，n維空間里半徑為1的n維單位球（記為Bn），都是最容易想到的定寬體。但是，球是否就是唯一一類定寬體呢？

歷史上的數學家也想弄清這個問題。他們仿造前面構造Reuleaux三角形的方式，在三維空間里構造了Reuleaux四面體。思路就是以正四面體各頂點為圓心，以邊長為半徑，構造四球殼。被四球殼彼此分割的球麵包裹住的空間，就是Reuleaux四面體。

一開始，人們猜測Reuleaux四面體是三維空間里的非球定寬體。但很遺憾，它並不是。大家可以試著計算一下，驗證這一點。

好消息是，可以通過局部「手術」，把它改造成定寬體！所以現在我們有了第一種非球形的三維定寬體——Meissner體。

想必讀者朋友也注意到了，在三維空間中構造定寬體已然頗為不易，升至更高維的空間中，難度超乎想像。更何況，為瞭解答Schramm提出的難題，還需要保證：

對某個小於1的正數q，當n足夠大時，總是存在寬度為2的n維定寬體Kn，其體積V（Kn）＜qn·V（Bn）。其中V（*）表示對象*的體積。

數學家想不出如何直接構造出高維定寬體，所以只能依賴既有的經驗。仿照二維和三維成功路徑，從一組點開始（稱之為「種子」），然後以每個種子為圓心作一個高維球面。尋找能被所有球麵包裹的對象，看看它是否具有恒定寬度。

但是在高維世界里，要弄清楚種子的子集能帶來的形狀，是非常困難的工作。

4位烏克蘭的數學家Andrii Arman、Andriy Bondarenko、Danylo Radchenko和Andriy Primak對不同的種子進行了實驗，最終試出了一條特定曲面。他們知道曲面劃出了一個區域，其中包含一個足夠小的定寬體。但他們想瞭解該定寬體到底是什麼樣子。

在他們追尋答案時，Arman看到了MathOverflow上2022年的一則帖子，進而結識了肯特州立大學的Fedor Nazarov。後者一直在獨立研究Schramm的問題，他的方法看起來與烏克蘭團隊的方法非常相似，儘管他也陷入了困境。烏克蘭團隊邀請他加入他們。就在那時，Nazarov意識到了其他人錯過的東西：他們的種子賦予的形狀不單純是包含了一個定寬體，它本身就是定寬體！

從左至右:Andrii Arman，Andriy Bondarenko and Danylo Radchenko，Fedor Nazarov，and Andriy Primak.|圖源：Andrii Arman，Andriy Bondarenko，Fedor Nazarov，Andriy Prymak，and Danylo Radchenko Constructed Small Volume Bodies of Constant Width|Combinatorics and more(wordpress.com)

在那個尤里卡時刻，問題全都迎刃而解。他們的工作指出，對任意足夠大的維度n，都存在一個寬度為2的定寬體Kn，滿足V（Kn）＜0.9n·V（Bn）。

Arman說，儘管結論背後有著複雜的思路，但他們的構造是本科生就足以驗證的。實際上，他們的論文僅有7頁（見參考[6]），而且沒有給出構造幾何體的3D圖示。在一篇幾何學論文里，沒有幾何對象的圖示，甚至引起了很多數學家的「抽水」。

卡內基梅隆大學的數字幾何學家、計算機科學與機器人學副教授Keenan Crane按論文里的方法製作了3維定寬體的圖像，並特意指出，因為原始論文竟然沒有配圖，所以自己動手製作了一個。

回到二維

雖然Arman等人的工作揭示了一般n維空間里定寬體的漸進特性，但目前實質上還處於「皮毛」階段。和二維定寬曲線相比，我們對高維定寬體的各種細節還知之甚少。

除了之前介紹過的Reuleaux三角形，還存在大量的定寬曲線。實際上，我們可以從數學上證明，每一個奇數條邊的正多邊形都可以借助畫圓弧的方法生成一條定寬曲線。此類定寬曲線就叫做Reuleaux多邊形。Reuleaux三角形就是其中最簡單的Reuleaux多邊形。

但是，Reuleaux多邊形的邊緣都是圓弧，那是否存在邊緣不是圓弧的定寬曲線呢？

答案是肯定的。

我們有非圓弧拚接，更加光滑的代數定寬曲線。例如，下面的多項式的零點形成一條寬度恒定的非圓平滑代數曲線：

f(x，y)=(x2+y2)4−45(x2+y2)3−41283(x2+y2)^2+7950960(x2+y2)+

16(x2−3y2)3+48(x2+y2)(x2−3y2)2+x(x2−3y2)(16(x2+y2)2−5544(x2+y2)+266382)−7203。

曲線的次數為8，這是定義定寬非圓曲線的多項式的最小可能次數。

對於所有定寬曲線，有Barbier定理：定寬曲線的周長πw（w就是那個恒定的寬度），無論其形狀如何。

此外，非常重要的Blaschke-Lebesgue定理指出，Reuleaux三角形在同寬度的所有定寬曲線中具有最小的面積。很多數學家都想找到三維里體積最小的定寬體，但至今徒勞無功。

Arman的5人團隊在解答了Schramm問題後，最近幾個月裡就在研究上面的問題。但因為毫無結果，不久前宣佈放棄追逐，回到他們早年的研究工作之中。

Reuleaux三角形的歷史和應用

我們畢竟是生活在三維世界里，高維幾何學的前沿研究往往對現實生活影響有限。根據Arman的說法，在更高的維度上，他們發現的定寬體或許有助於開發用於分析高維數據集的機器學習方法。

但是，Reuleaux三角形則是確鑿無疑地早已被應用於各種生活和工業場景中。19世紀的德國工程師Franz Reuleaux是研究將一種運動轉換為另一種運動的機械的先驅。他在設計中使用了Reuleaux三角形。這就是其名稱的由來。但它的歷史可追溯得更加久遠。

Reuleaux三角形的早期應用來自達·芬奇於1514年左右繪製的世界地圖，其中地球的球面被分成八片，每片都被壓成一個Reuleaux三角形的形狀。

不過第一個意識到定寬曲線的存在、並觀察到Reuleaux三角形具有定寬性質的人可能是歐拉（Leonhard Euler）。在他於1771年發表並於1781年重新整理髮表的題為De curvis triangularibus的論文中，歐拉研究了曲線三角形以及他稱之為類圓的定寬曲線。

Reuleaux三角形和其它定寬曲線的存在表明，僅靠直徑測量無法驗證物體是否具有圓形橫截面。

1986年，「挑戰者」號航天飛機在升空73秒後爆炸，著名物理學家李察·費曼（Richard Feynman）被請來調查事故原因。他後來證明，本來用於連接航天飛機固體火箭助推器部分的「O形圈」密封件由於低溫而失效，造成了災難性的後果。但他也發現了不少別的問題。其中就包括NASA測量O形圈形狀的方式。在飛行前測試期間，工程師反復測量了密封件的寬度，以驗證它們沒有變形。

費曼後來寫道，因為存在定寬曲線，這些測量是無用的。

雖然它們給圓截面測量帶來了隱患，但定寬曲線的形狀也帶來了非常有用的性質。目前有幾種類型的機械採用Reuleaux三角形的形狀，基於其能夠在正方形內旋轉的特性。

Reuleaux三角形在一個正方形內滾動，同時始終接觸所有四個邊。丨圖源：Curve of constant width – Wikipedia

Watts Brothers Tool Works的方形鑽頭具有Reuleaux三角形的形狀，經過凹面修飾以形成切割表面。當安裝在允許鑽頭沒有固定旋轉中心的特殊卡盤中時，它可以鑽出一個近乎方形的孔。

德國工程師Felix Wankel借助Reuleaux三角形設計了一種採用偏心旋轉，將壓力轉化為旋轉運動的內燃機。

大約50年前，馬自達的工程師成功地將Wankel的轉子發動機商業化。轉子發動機因其比傳統活塞發動機更小、更輕，且具有優越的功率重量比而聞名。與傳統發動機不同，轉子發動機沒有往複運動的部件。它使用一個在殼體內旋轉的三角形轉子，使其運行更安靜、更平穩。這種設計還允許在給定排量下實現出色的性能。

儘管最後一款使用13B轉子發動機的車型RX-8在2012年停產，馬自達仍繼續生產轉子發動機及其零部件，保持著轉子發動機的傳統。

蘇聯Luch-2基於Reuleaux三角形的8毫米膠片放映機中的進片機構。丨圖源：Reuleaux triangle-Wikipedia

Reuleaux三角形的其它應用包括吉他撥片、消防栓防篡改螺母、鉛筆形狀的設計等等。

開始的尾聲

前文提及，5人團隊在解決了Schramm問題後，就轉向了離散幾何的其它領域。但他們留下了一個新的高維幾何世界供其他人探索。

2008年，Schramm在許多不同的數學領域取得了重大進展後，卻在一次徒步旅行事故中喪生。作為他曾經的老師，Kalai教授很高興看到今天的研究者繼承並延續了Schramm的學術遺產，結出豐碩的果實。

他說，以前在更高的維度中，人們都認為定寬體應表現得像球，至少在體積特性方面是這樣。但「事實並非如此。所以這意味著高維幾何體的理論非常豐富。」

2010年，Gil Kalai在MathOverflow上發帖，希望讓更多數學家去關注那個「非常基本的問題」——Schramm問題。

在今年5月最後的一天，Kalai在這塵封已久的帖子下回覆自己道：「問題已獲解決。」

致謝：感謝美國加州理工學院數學系倪憶教授對本文的審核和修訂。

參考資源

[1] Curve of constant width – Wikipedia

[2] Reuleaux triangle – Wikipedia[3] mg.metric geometry – Volumes of sets of constant width in high dimnsions – MathOverflow[4] Mathematicians Discover New Shapes to Solve Decades-Old Geometry Problem | Quanta Magazine[5] Andrii Arman, Andriy Bondarenko, Fedor Nazarov, Andriy Prymak, and Danylo Radchenko Constructed Small Volume Bodies of Constant Width | Combinatorics and more (wordpress.com)[6] [2405.18501] Small volume bodies of constant width (arxiv.org)[7] Wankel engine – Wikipedia