埃爾德什追憶烏拿姆：他是神童，也是神叟

斯塔尼斯拉夫·烏拿姆（Stanisław Ulam，1909-1984）是著名波蘭裔美國數學家、核物理學家與計算機科學家。他參加了曼哈頓計劃，氫彈的Teller-Ulam構型就得名於他與愛德華·特勒（Edward Teller）。烏拿姆去世後，他的一生好友，著名數學家埃爾德什（Paul Erdős，1913-1996）於1985年發表了這篇滿含真摯回憶的紀念文章，特別介紹了他們共同完成的一些工作。

本文來自微信公眾號：返樸 （ID：fanpu2019），作者：Paul Erdős，翻譯：張和持，題圖來自：AI生成

首先作一個簡要介紹。在長達五十年的歲月中，烏拿姆都一直是我的朋友與合作者。我與他進行過不計其數的關於數學和政治的討論，也共同撰寫了很多論文。我將在本文中側重於我們合作的研究，而忽略他在物理、生物、計算機與計算機科學方面的工作。

烏拿姆曾經寫過一篇非常出色的自傳[7]，而我想講的這幾件事，印象中並沒有在他的自傳中提及。希望我的記述能儘量準確。

我第一次見到烏拿姆是在1935年英國劍橋，第二次則是1938-1939年在美國馬莎諸塞州的劍橋，他那時是哈佛大學學會的會員。不過我們真正開始數學交流是在1941-1943年間，我兩次前往威斯康辛大學拜訪他，在此期間我們得到了第一項共同研究成果。此後的1946年我又去聖達菲和洛杉磯拜訪了他。他那時生了重病，有可能是腦炎（這幾乎是他唯一次生病，那之後直到他因心臟病發作離世，他的身體都非常健康）。他出院後在洛杉磯南部的一個島上療養，我也前去探望了（這整件事都在他的自傳中有所提及）。之後我又到洛斯阿拉莫斯見了他幾次，最後一次是在1952年。

1963年在美國科羅拉多州博爾德（Boulder）舉辦了一場數論會議，我們又在那裡見了面。隨後我們一起訪問了阿斯彭（Aspen）。有一次我正在他家，他接到白宮打來的電話，詢問他有關禁止核試驗條約的建議——烏拿姆對此強烈支持。然後在1968年和1970年，我作為訪問教授在科羅拉多大學和他撰寫了我們的第一篇合作論文，內容是加性數論與集合論。1970年的那次，我九十歲高齡的母親也跟我在一起，烏拿姆的夫人Françoise為我母親寫了一篇短文。到了70年代末，我們經常一同待在佛羅里達大學。我本來還打算繼續我們的研究，卻意外得知他在1984年5月死於冠心病發作。

烏拿姆絕頂聰明，他既是一個神童，也是一個「神叟」（譯者註：原文為dotigy，對應於神童的prodigy）。神叟這個詞是烏拿姆自創的，在任何字典里都查不到。我曾經就神童的話題做過一次演講，烏拿姆則評論說我們兩人其實都是「神叟」，意思是說我們兩個老頭到了古稀之年（dotage）卻仍然能「證明定理，提出猜想」。或許這是對一個人的命運美好祝福的悲傷註腳，我們對一個嬰兒寄予最熱切的期盼是，願你「生來是個神童，老去是個神叟」。

烏拿姆毫無疑問是一位神童，他在20歲之前就證明，在任何無窮集合上都存在一個二值測度（2-valued measure，即任何可測集的測度都是0或者1），使得整個集合的測度為1，任何單點的測度為0，並且測度有限可加。Alfred Tarski（1901-1983）在幾個月後獨立發現這一定理。最近我發現Frigyes Riesz在20年前就預測了這一事實，他於1908年在羅馬的國際數學家大會上作了證明。

烏拿姆一生中最重要的發現之一或許是其冪集基數為的集合S中構造所謂的烏拿姆矩陣。這個矩陣有行列，其中的元素都是這個具有冪的給定集合S的子集，同一行的子集兩兩相離，並且同一列所有子集的並集與S之間只相差一個可數集。該矩陣可以用簡潔的超限歸納法構造出來，在此基礎上烏拿姆很容易就推導出了他的著名定理：如果S的基數|S|=m，其中m＜m0且m0是第一個不可達基數，則在S上不存在「可數可加、單點測度為0、全集測度為1、所有子集都可測」的測度。不可達基數的問題仍然懸而未決。他的論文在此方面產生了巨大的影響，並引導了此後大基數理論的發展。

在我看來，這是現代數學中最重要的發展之一，而這項發展的第二個起點則是我和Tarski的合作論文[4，5]，這篇論文繼承併發展了Tarski的早期研究，對此我深感榮幸。請讀者們容許我再插入幾句回憶。我曾經錯誤地以為第一個不可達基數或許是可測的。在1957年，András Hajnal（1931-2016）和我一起證明了一個定理，從中可以輕易推出第一個以及其他很多個不可達基數上不存在可數可加測度。Hajnal直到Hanf-Tarski和Kiesler-Tarski這兩項成果問世之後才意識到這一點。不過恐怕責任還是出在我身上，正如Hanjnal所說，「我只是個年青人。我怎麼可能去懷疑，反駁‘pgom’（poor great old man；譯者註：可憐的偉大老頭，指Erdős。Erdős喜歡在自己的簽名後面加上這個簡稱）。」即便是很久以前的事了，那時的我也已經步入了老年。事實上，Hajnal也講到，那次疏忽的結果，是Hanf-Kiesler-Tarski證明中的洞見遠比我們深遠，他們的工作很快就推動了大基數理論的探索性發展。要是我們率正選表了證明，或許就不會有後來那樣的快速發展了。

烏拿姆曾經問道（我覺得是1943年在我訪問威斯康辛期間）：假設S是基數為的集合。我們是否能在S上定義個測度Mk，使得所有測度都是二值的，單點測度為0，S測度為1，所有測度都應該滿足可數可加，並且所有子集都起碼在其中一個測度下可測？他同時也想知道這對個測度是否不成立。或許個測度是有可能的。Leonidas Alaoglu（1914-1981）和我的確證明了不可能定義個這樣的測度，但是對於我們不置可否。後來才知道這是一個不可判定問題。我們的證明可以在[3]中找到。

烏拿姆與John C.Oxtoby（1910-1991）、Barry C.Mazur（1937-）、Karol Borsuk（1905-1982）的合作研究對數學至關重要，但我並不是評價這方面工作的最佳人選。他同D.H.Hyers（1913-1997）關於泛函方程f(x+y)=f(x)+f(y)的工作也同樣非常有趣，同樣有趣的還有他與Cornelius J.Everett（1914-1987）的工作。不過既然現在是在為這本雜誌撰稿，我應該談一談他提出的著名的重構猜想[Harary[6]中的術語叫作「重構疾病」（reconstruction disease）]。這個方面第一個結論來自烏拿姆的學生Paul Kelly，而一般情形還遠沒有解決，到今天這個領域也非常活躍。烏拿姆有一個非常寬泛的元問題：如果在某種結構中A2=B2，那麼A=B是否成立？這個問題的答案常常是否定的，但也有一些例外。這些問題催生了不少有趣的論文。

烏拿姆在洛斯阿拉莫斯的那幾年，研究了如何使用計算機解決純粹和應用數學問題，並取得了一些重要的開拓性成果。我並不打算在這裏多費筆墨，不是因為我認為這項研究不重要或者無趣，只是我認為這一部分應該交給該領域的內行來寫。我只提一下，他同合作者們一起得到了一些迭代函數中有趣、豐富又意外的猜想。關於他在「獵戶座計劃」中關於星際航行的貢獻，我能說的就更少了。在我印象中Freeman Dyson（1923-2020）曾在此項目中非常活躍，希望他和其他人能寫得更深入一些。關於此事還有一件趣聞。烏拿姆作為計劃的發起人之一一直非常自豪，最後項目告吹他也深表遺憾（據我所知，早在禁止太空核爆的條約（《部分禁止核試驗條約》）簽訂之前，該項目就已經被拋棄了。烏拿姆肯定是不想違反條約，而是希望能重新進行談判）。

有一次他告訴我，他從歌德的《浮士德》中找到了一條宣傳獵戶座計劃的絕佳口號：「Und was vor uns ein alter Mann gedacht und was wir dann so herrlich weitgebracht ja bis an die Sterne weit」[「一位老者曾經產生的思想，又被我們發揚光大，是啊，遠至星辰」；譯者註：浮士德原文中不是alter Mann（老人），而是weiser Mann（智者）]。烏拿姆說這裏的「老者」是指愛恩斯坦。我馬上糾正他，「不對，老者應該是你，而星辰（恒星）應該換成行星。」烏拿姆總是害怕變老，他很自豪於自己70歲還能打網球，甚至打得很好。他非常幸運地躲過了兩大惡魔——老去的年齡以及衰退的智力，他在心臟衰竭中，死的毫無恐懼與疼痛，臨終之前仍能證明定理、提出猜想。

在我上次訪問佛羅里達大學時，Alexander R.Bednarek（1933-2007）給我講了一個關於烏拿姆的很棒的故事。或許這個故事經過了一定潤色，不過Marcel Riesz（1886-1969）曾告訴我，「如果你有一個好故事，就不用擔心故事到底是真是假了」，而且起碼我能肯定這個故事確有其事。幾年前弗羅茨瓦夫大學的Gladysz教授訪問了蓋恩斯維爾（即佛羅里達大學的所在地）。正好他從來沒見過烏拿姆，在Bednarek介紹他們認識之後，兩人用波蘭語談了很久。當烏拿姆離開之後，Gladysz問Bednarek：烏拿姆是不是那個有名的烏拿姆的兒子？Bednarek覺得不好意思而沒有告知真相，但他覺得烏拿姆聽了一定會很高興，便把這個故事告訴了烏拿姆。Bednarek告訴我，第二天幾乎所有的數學家都知道了這件事。

作為一個數學家，烏拿姆不僅精於證明那些有趣又深刻的定理，他更擅長的或許是提出新穎又富有啟發性的問題與猜想。他在一些自己沒有過多涉獵的領域也提出了很多美妙的猜想。我打算介紹兩三個我自己熟知領域中的例子。Norman H.Anning（1883-1963）和我一起證明，假如x1，x2，…是平面（或En，即高維歐氏空間）中的無窮點集，並且兩兩之間的距離全都為整數，則這些點必然在同一條直線上。烏拿姆立馬就問，「是否可以有無窮多個這樣的點，它們並不都位於一條直線上，並且兩兩之間的所有距離都是有理數？」我回答說，「是的，Anning和我找到了這樣的例子，但歐拉早就預見到了這一點。」烏拿姆反駁道，「我不相信平面中的點集可以處處稠密而距離又是有理數。」我覺得他的猜想應該是對的，但這個問題大概會非常深刻。「兩兩距離是有理數」這個條件對於一個無窮點集來說或許是非常嚴苛的，但是我們對此還一無所知。（編者註：近期該問題有了進展，參見《80年來幾乎沒有進展的數學問題，解決方案竟是讓它變得更複雜》。）

他出版了一本關於數學問題的非常美妙又實用的書。這本書的第二卷本來計劃和R.Daniel Mauldin（1943-）合作撰寫，現在Mauldin得獨自一人把活幹完了，我會在我能力範圍內給予他幫助。從我們的演講以及同Ronald L.Graham（1935-2020）的討論中，產生了一個新的問題：假如n＞n0且a1，a2，…，an是1，2，…，n的一個重新排列，那麼是否存在一個三項等差數列x，x+d，x+2d使得ax，ax+d，ax+2d同樣構成等差數列？

即便烏拿姆並不是數論學家，他也發表了很多有趣的數論問題，其中不少是他在博爾德1963年的數論會議上提出的。他還與海法（以色列城市）的Eri Jabotinsky各自獨立發現了「幸運數」（譯者註：幸運數的定義類似於埃拉托斯特尼篩法，但每一步並非移除素數的整數倍，而是移除某些特定位置的素數。這樣得到的數擁有很多類似素數的性質）。

在70和80年代，我和烏拿姆經常一起在佛羅里達大學，我們發表了許多關於組合學與集合論的文章。這裏我只打算提一下，烏拿姆提出的某一個問題引出了很多圖論中的問題與結論。

現在得談一談我們在威斯康辛大學麥基迪遜分校時完成的工作。我們考慮了模有限可加理想的整數全體所有子集所構成集合的布爾代數。我們猜測這種類型的非同構布爾代數的數量為，但未能找到一個完全令人滿意的證明。後來D.Monk證明了這一點，Saharon Shelah（1945-）又以更一般的形式證明了這一點。

我們還研究了三種特別的布爾代數。令B1為模有限集的代數，B2為模密度為0序列的代數，B3為模對數密度為0序列的理想的代數。我們很容易就證明了B1不同構於B2和B3，然後我們自以為證明了B2不同構於B3。我們再也沒能重建這個證明，只是懷疑B2也許不同構於B3。我懸賞100美元給能證明或證偽的人。最後是Winfried Just和Adam Krawczyk在連續統假設下證明了這個結論；Franluaiorezy在Martin公理下也得到了證明。這個方向的進一步工作由Monk完成。

烏拿姆是我五十年的好友與合作者，顯然從今往後，科學和社會，特別是數學世界將不再和從前一樣了。

在《一千零一夜》的故事中，國王受到了「國王啊，願你永垂不朽」的致敬。對數學家和科學家的致敬或許可以更現實一點：「數學家啊，願你的定理永垂不朽。」我祝願，也期盼史丹（譯者註：烏拿姆的昵稱）的定理也能有這樣的命運。

參考文獻

[1]F.R.K.Chung and P.Erdős，On unavoidable hypergraphs(to appear in J.Graph Theory).

[2]F.R.K.Chung，P.Erdős，R.L.Graham，S.M.Ulam and F.F.Yao，Minimal decompositions of two graphs into pairwise isomorphic subgraphs.Proc.Tenth Southeastern Conf.on Combinatorics，Graph Theory and Computing(1979)3-18.

[3]P.Erdős，Some remarks on set theory，Proc.Amer.Math.Soc.1(1950)121-141.

[4]P.Erdős and A.Tarski，On families of mutually exclusive sets.Annals of Math.44(1943)，315-329.

[5]P.Erdős and A.Tarski，On some problems involving inaccessible cardinals.Essays on the Foundations of Mathematics，Hebrew University，Jerusalem(1961)50-82.

[6]F.Harary，The Four Color Conjecture and other Graphical Diseases.Proof Techniques in Graph Theory，Academic Press，New York(1969).

[7]S.M.Ulam，Adventures of a Mathematician，Scribner，New York(1976).