100個紅綠球，讓2萬人集體翻車！數學家「罐中難題」引爆全網討論

新智元報導  

編輯：編輯部

【新智元導讀】這道100個紅綠球的「罐中謎題」，兩萬多人中僅有20%能答對？這位數學家為我們揭示了，為何概率推理謎題如此反直覺的原因。現在，這些已經掀起全網大討論，它們絕不僅僅是腦筋急轉彎，甚至還催生出了數篇學術論文！

一道看似簡單的概率謎題，竟然讓80%的人都做錯了？

這道題如下——

你有一個裝有100球的罐子，罐子看不到裡面，其中有n個紅球，「100-n」個綠球。n為「0,100」之間的一個隨機數。

你伸手進入罐子並取出一球，它是紅色的，把它扔掉後，如果你現在再取出一球，它更有可能是紅色還是綠色？或者兩種顏色的可能性是相等的？

目前，已經有兩萬多人對這道題進行了投票，但是，只有22%的人做對了。

你的答案是什麼？請等待後文公佈正確答案。

今年1月份，當數學家Daniel Litt在網上發出這道題後，引爆了眾多數學家、計算機科學家和經濟學家的解題熱情！

甚至，還有一些哲學家、金融家、體育分析師參與了進來。

甚至，這道謎題還催生了一系列相關論文，來探討謎題背後的數學意義！

論文地址：https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/MihaiNicaAliceBob.pdf

可以說，這道在線謎題真正凸顯了腦筋急轉彎對於大眾的持久吸引力。

而且，它還展示出了我們數學直覺的局限性，以及概率推理的反直覺性。

這道題，究竟為什麼如此反直覺？為什麼簡單的概率問題，會如此出人意料地困難？

讓我們仔細討論一下，是什麼造就了一個偉大的謎題。

選中紅球，下一球是什麼？

話說回來，在這道罐子謎題中，你的答案是什麼？

下面公佈正確答案——紅色。

怎麼樣，的確十分反直覺吧。

為什麼答案不是綠色，或二者概率相等呢？

Litt表示，這位來自倫敦的數學研究者George Lowther的解釋，給出了自己最為喜歡的思考方式——

想像一下，一開始有101球排成一行，而非100球，再隨機挑選一球。

然後，把它左邊的球塗成綠色，右邊的球塗成紅色，再把手裡的球扔掉，便剩下100球。

然後，隨機選擇第二球，這球對應原問題中的第一球。問題告訴你，你選了一個紅球，所以它在你扔掉的球的右邊。

現在挑選第三球，這球有三種可能的位置：

1）在第一球的左邊

2）在第一球和第二球之間

3）在第二球的右邊

在這三種可能性中，有兩種情況下，第三個選中的球是紅色的。所以球是紅色的概率是2/3。

另一位統計學博士Jonatan Pallesen提出了一個很好的啟發性解釋：

如果你去釣魚，並很快釣到一條魚，便會期望湖里有更多的魚。同樣，如果你已經拿到一個紅球，這表明罐子裡有很多紅球。

「反直覺陷阱」，為何如此有迷惑性

不過，這一問題恰恰反映出了一個反直覺的陷阱。

按理說，如果拿出了一個紅球，那麼甕中紅球的數量就減少了，所以下一球就更有可能是綠色的。

很多人都是這麼想的，然而，這是一個錯誤的直覺！

許多人堅持認為，因為紅球數量減少，所以下一球更有可能是綠色的。

Litt對此表示，「他們不願意接受數學論證，但對模擬結果更具信服力」。

其實，這是一個隨機選擇的概率，但從中獲得的信息，會影響我們對後續事件概率的判斷。

一些參與者驚訝道，如此顯而易見的答案，竟有很多人沒有發現。

我確實感到驚訝的是，我們在這類問題上表現得如此糟糕，因為概率與現實世界的活動有著如此明顯的相關性。我們必須不斷地觀察世界並評估可能性，然後決定行動方案。

或許這個問題確實對於一些專業人士來說，的確輕而易舉。但多數人還是會掉入陷阱，為什麼對他們來說，這道題會如此困難？

Litt認為，關鍵點在於初始設置中的概率分佈。

也就是說，罐子問題是完全依賴於，紅球數量是根據所謂的均勻分佈（即從甕中抽取）來選擇的。

當抽出的是一個紅球，告訴你的信息是，自己處於一個「紅色的世界」中，但也只是因為Litt這樣設置的問題。

但若是，根據二項分佈來選擇球的顏色——即通過拋硬幣來選擇每球的顏色。

那麼，即便你知道了第一球是紅色的，但對下一球來說，沒有什麼含義，進而不會影響後續抽取概率。

修改起始分佈非常容易，這樣就能獲得紅色、綠色、或可能性等同的三種答案中的一種。

如果調整分佈，就會完全改變答案，因此，一個人的直覺必須對問題的設置非常敏感，這才是解決此類問題的關鍵。

對此，Litt設計了一系列罐子問題，每一個都是為了打敗某人為之前某個變體提出的啟發性解釋而設計的。

所以說，很難想出能夠檢測到這些細節的啟發性方法。

其實，在現實世界中，我們在概率計算上，並非那麼擅長。

但在生活中，有些活動卻與概率問題息息相關。我們通過不斷觀察世界，評估概率，然後再做出行動方案。

Litt稱，雖然我不是心理學專家，但人們在考慮問題各個方面，都會變現出規避風險，由此會系統地高估了/低估了極不可能發生事件的概率。

在線謎題，萬人參戰

一直以來，Litt專注於研究代數幾何和數論交集的領域，而在概率論方面，他還只是業餘愛好者。

過去，他參加了一些有關概率的講座，並激發出極大的興趣，躍躍欲試。

Litt表示，「雖然概率論與日常的數學思考內容，相去甚遠，但也涉及到了自己一些相對熟悉的東西」。

閑暇時候，他會提出一些簡單的概率問題。

當自己發現得到了一個很酷、且反直覺的答案時，便會將謎題發在X上，讓大家一起破解。

人們喜歡在社交媒體上「抽水」，Litt的謎題下面，也逐漸成為大家討論的社區，構建起一個概率圈的生態系統。

之所以在X上討論數學，是因為2020年疫情期間，Litt感到非常孤獨，便發現在社交媒體中，與隨機的人聊自己喜歡的主題可以獲得快樂。

在Litt看來，即便是拋硬幣這種最基本的概率事件，也會產生有趣的問題。

就比如，前段時間，他發佈的有關擲硬幣的一個謎題，便吸引了2萬多人參與討論。

還有另一個改版的同類謎題，更是得到近5萬位網民的投票。

下一個謎題：拋硬幣

下面這道拋硬幣難題，被Litt稱為自己最喜歡的謎題。

而且，僅有10%的參與者答對了，比例低到驚人！

Alice和Bob各拋硬幣100次（正面是H，反面是T）。每當連續出現兩個正面HH時，Alice得1分；出現正反面HT時，Bob得1分。 

因此，現在，二人已經得到了「THHHT」，因此Alice得2分，Bob得1分，最後誰更有可能獲勝？

有人對此推理的是，如果列出100次拋硬幣的所有不同結果，並計算出Alice和Bob的分數。他認為每個人總分相同。

因此，他們預期的答案是二者相同。

但事實證明，Bob獲勝的可能性更大！這是為什麼？

顯然，人們的直覺又在作祟了。

一個直覺是，Alice可以在短時間內得很多分。例如，在連續出現正面HHHHHHH情況下，她在第一次之後的每次拋擲中都得分。

在100次拋擲中，Alice的分數可以高達99，但Bob最多隻能得50分。

所以Alice會以壓倒性的優勢獲勝，這意味著她在遊戲中浪費了一些期望得分。

相較之下，Bob可能會贏得更多比賽，但每次獲勝優勢較小。通過模擬驗證，可以證明這個結果是正確的。

不確定的是，如果改變遊戲規則的話，這個啟發性的方法是否成立。

而且，Litt表示，我不知道是否存在一個證明，能夠完全解釋這種現象，特別是一個適用於任意次數翻轉的證明。

概率論家、數學博士發論文

對於自己所出的概率題，Litt也做了一個證明，但僅是一個複雜，且缺乏理論的論證。

而真正讓他興奮的是，這些謎題在一大波專業人士中，掀起了熱議。

一位數學博士Sridhar Ramesh收集了一些漂亮的論證。

他將拋硬幣問題比作成一個「隨機行走」的問題，其中向上和向下的步驟概率相等，但速度分佈不同。

從中可以獲得的關鍵觀察是，返回原點所需的時間，與第一步向上還是向下無關。

因為反向執行相同的步驟，也有相同的概率。

由此，可以得出，對於任何固定的行走時間，最後一步離開原點的方向（向上或向下）的概率是相等的。

那麼，再將這個觀察應用到硬幣遊戲中：

– HH相當於一個單位時間的「向上」步驟

– HT^n H相當於n+1個單位時間的向下步驟

這意味著，遊戲結束時，我們同樣可能在原點之上（Alice贏，或者存在一個可能讓遊戲和波HT^n H的中間步驟），或原點之下（Bob贏）。

如果遊戲由HHT，後面全是T組成，有可能會和波。

由於可能在HT^n H步驟的中間結束，（在給Bob一個使遊戲和波的分數後，但在返回到H之前），而不可能在HH的中間結束，所以Alice獲勝的可能性比Bob小。

Litt還表示，有一大類問題是從最初拋硬幣問題中衍生出來的。

對於這些問題，很多人提出了不錯的論證，但他個人仍然覺得，無法實現直觀的理解。至少從業餘觀點來看，其中有很多令人驚訝的有趣的數學。

另有一位來自羅格斯大學教授Doron Zeilberger，在這些問題中發現了有價值的內容，併發表了論文。

論文中， Zeilberger編寫了一個軟件包，用於分析這類概率問題的長期行為。

比如，他的程序可以證明在n次拋擲後（當n非常大時），和波的概率大約是1/√n乘以某個明確的常數。

他還計算了一些稱為「矩」的量。

當你查看Alice和Bob的得分之間的所有可能差異，這些差異的平均值為0，這也是使其成為一個難題的部分原因。

但你也可以計算「二階矩」，即對差異的平方求平均值，以及「三階矩」，即對差異的立方求平均值等等。

Zeilberger和數學家Mihai Nica提出了一個猜想，即僅僅知道二階和三階矩，就足以確定誰贏得更多的比賽。

不過，Litt認為，這一點尚未完全證明。

而現在，又有後繼者，另一位數學家Svante Janson以及Nica正在撰寫一個證明。

答案&一道新題

以下三道題，答案會在後面公佈。

第一題：Equally likely

第二題：H湯臣TH

第三題：Bob

就在剛剛，Litt又發佈了一個改版的罐子問題，你認為答案會是哪個？

個人介紹

Daniel Litt目前是多倫多大學數學助理教授。2019-2022年，他也曾在佐治亞大學擔任助理教授。

2015年，他獲得了史丹福大學博士學位。2018年在哥倫比亞大學擔任NSF博士後。另外，2018-2019年，他還是高級研究所的成員。

總的來說，Litt對代數幾何和數論之間的相互作用感興趣，對拓撲學也有一定的興趣。

他的大部分工作都集中在，使用算術技巧來研究比如複雜代數簇的經典問題。

目前，他的研究重點是，代數簇基本群上的算術結構，以及這些結構和簇的幾何之間的關係。

此外，他本人其他感興趣方向包括，關於正性和消失性定理的問題，代數簇的動力學，以及霍奇理論（廣義理解）。

目前，他得到了NSERC的資助項目——算術和代數幾何中的Anabelian方法，還曾是史隆的研究獎學金獲得者，以及安大略省的早期研究人員。

參考資料：

Perplexing the Web, One Probability Puzzle at a Time