深度詳解！基於飛槳框架的線性代數基礎及其領域應用

作者胡晗，飛槳星河社區開發者，目前研一在讀，研究方向是大模型的應用。對開源活動比較感興趣。本期分享的主題是 paddle 線性代數庫的應用。

線性代數是數學中的一個分支，主要研究向量空間、線性變換和線性方程組等內容。以下是線性代數的一些基礎知識：

1)向量和向量空間：向量是有大小和方向的量，通常表示為箭頭或者一組數字。向量空間是由向量組成的集合，滿足一定的線性組合和封閉性質。

2)矩陣：矩陣是由數值排列成矩形陣列的表格，常用來表示線性變換、線性方程組等。矩陣可以進行加法、標量乘法、矩陣乘法等操作。

3)線性方程組：線性方程組是一組線性方程的集合，通常表示為矩陣與向量的乘積等形式。求解線性方程組的目標是找到滿足所有方程的解。

4)行列式：行列式是一個標量值，用於衡量矩陣的某些性質，比如矩陣是否可逆、線性變換是否保持面積或體積等。

5)特徵值和特徵向量：對於一個方陣，其特徵值和特徵向量是一對相關聯的數和向量。特徵值表示沿特定方向變換的縮放因子，特徵向量則表示在該方向上的變換方向。

6)內積和外積：內積是向量的點乘，外積是向量的叉乘。內積可以用來計算角度和長度等，而外積則用於計算面積和方向等。

7)線性變換：線性變換是指保持向量空間的加法和標量乘法性質的映射。常見的線性變換包括旋轉、縮放、投影等。

8)正交性：在向量空間中，如果兩個向量的內積為零，則稱它們是正交的。正交向量空間具有很多重要的性質，比如可以用於構造正交基等。

以上是線性代數的一些基礎知識，它們構成了線性代數的核心內容。

1)矩陣屬性相關 API：用於計算和描述矩陣的基本屬性，如行列式、條件數和秩等。

2)矩陣計算相關 API：提供了對矩陣進行基本運算和計算的工具，包括矩陣乘法、冪、逆、廣義逆和協方差等。

3)矩陣分解相關 API：用於對矩陣進行分解，包括特徵值分解、奇異值分解、Cholesky 分解以及正交三角分解等。

4)線性方程求解相關 API：提供了求解線性方程組的工具，包括最小二乘問題、具有唯一解的線性方程組以及通過 Cholesky 分解計算的線性方程組。

總體而言，Paddle.linalg 包含了涵蓋線性代數各個方面的 API。通過這些 API，用戶可以方便進行線性代數相關的計算和分析，從而支持各種機器學習、深度學習和科學計算任務的實現和應用。

▎線性回歸

使用 paddle.linalg.lstsq 可以很容易的構建線性回歸模型：

import paddleimport paddle.linalg as linalg
# 定義訓練數據 y = 2*x+1x_train = paddle.to_tensor([[1.0], [2.0], [3.0], [4.0], [5.0]])y_train = paddle.to_tensor([[3.0], [5.0], [7.0], [9.0], [11.0]])
# 構建設計矩陣 X，增加一列常數項X = paddle.concat([x_train, paddle.ones_like(x_train)], axis=1)
# 使用 paddle.linalg.lstsq 求解最小二乘線性回歸問題coeffs, residuals, _, _ = linalg.lstsq(X, y_train)
# 提取回歸係數slope, intercept = coeffs[0][0], coeffs[1][0]
print("回歸係數:")print("斜率:", slope.item()) # 2.0print("截距:", intercept.item()) # 0.9999992847442627

上面的代碼利用飛槳框架中的線性代數模塊 paddle.linalg 中的 lstsq 函數實現了最小二乘線性回歸。通過將特徵和常數項構建成設計矩陣，然後使用最小二乘法求解得到回歸係數，從而完成了對線性回歸模型的訓練過程。

▎圖片壓縮

線性代數在圖片壓縮方面有著重要的應用，其中最典型的應用之一是奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）。SVD 是一種將矩陣分解為三個矩陣乘積的方法，它在圖像處理領域中被廣泛應用於壓縮和降維。

在圖像處理中，一張圖像可以表示為一個矩陣，其中每個元素代表一個像素的亮度。利用 SVD，可以將原始圖像矩陣分解為三個矩陣的乘積：A=UΣVH 其中，U 是一個正交矩陣，Σ 是一個對角矩陣，VH 是另一個正交矩陣的轉置。這種分解的結果是，圖像可以通過保留前 k 個最重要的奇異值來進行壓縮，從而達到減小圖像大小的效果。這個過程也被稱為圖像降維。

在飛槳框架中使用 paddle.linalg.svd 就可以實現上述的功能：

import numpy as npfrom PIL import Imageimport paddle
originalImage = Image.open('lenna.png')imageArray = np.array(originalImage)
# 將圖片的RGB通道分離R = imageArray[:, :, 0]G = imageArray[:, :, 1]B = imageArray[:, :, 2]
# 對每個顏色通道應用奇異值分解U_R, S_R, V_R = paddle.linalg.svd(paddle.to_tensor(R, dtype='float32'))U_G, S_G, V_G = paddle.linalg.svd(paddle.to_tensor(G, dtype='float32'))U_B, S_B, V_B = paddle.linalg.svd(paddle.to_tensor(B, dtype='float32'))

# 選擇前 k 個奇異值來重建每個顏色通道，並組合它們以形成壓縮後的圖像。k =200# 選擇的奇異值數量compressed_R = (U_R[:, :k] * S_R[:k]) @ V_R[:k, :]compressed_G = (U_G[:, :k] * S_G[:k]) @ V_G[:k, :]compressed_B = (U_B[:, :k] * S_B[:k]) @ V_B[:k, :]
# 組合壓縮後的顏色通道compressed_imageArray = np.stack((compressed_R, compressed_G, compressed_B), axis=2)compressed_image = Image.fromarray(compressed_imageArray.astype('uint8'))
compressed_image.save('compressed_image.jpg')

代碼中使用的原圖片：

壓縮後的圖片：

壓縮後的圖片看起來和原來的圖像並沒有很大的區別，但壓縮後的文件大小比原來的圖片小很多：

▎數據降維

主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）是一種常用的數據降維技術，用於發現數據中的主要方向（主成分），並將數據投影到這些方向上以實現降維。

PCA 通過線性變換將原始數據映射到新的坐標系中，使得在新的坐標系中數據的方差儘可能大。其核心是對數據的協方差矩陣進行特徵值分解（或奇異值分解），然後選擇特徵值較大的特徵向量，這些特徵向量構成了數據的主成分。

主成分可以理解為原始特徵的線性組合，通過保留最重要的主成分，可以實現數據的降維。

■ PCA 的主要步驟：

1)準備數據：收集並預處理數據，確保數據是數值型的。

2)中心化處理：將每個特徵的值減去該特徵的均值，使得數據的均值向量變為零向量。

3)計算協方差矩陣：直接計算中心化後的數據的協方差矩陣，而無需先計算均值向量。

4)計算特徵值和特徵向量：對協方差矩陣進行特徵值分解，得到特徵值和對應的特徵向量。

5)選擇主成分：根據特徵值的大小，選擇最重要的前 k 個特徵向量作為主成分，其中 k 是降維後的維度。

6)投影數據：將原始數據投影到選定的主成分上，得到降維後的數據。

■ 用代碼實現 PCA：

import numpy as npimport paddleimport matplotlib.pyplot as plt
# 生成2D數據集X = np.random.randn(100, 2)
# 提升到3DX_3d = np.column_stack((X, np.random.randn(100)))
# 標準化X_std = (X_3d - X_3d.mean(axis=0)) / X_3d.std(axis=0)
# 計算協方差矩陣cov_matrix = paddle.linalg.cov(paddle.to_tensor(X_std.T))
# 計算特徵值和特徵向量eigenvalues, eigenvectors = paddle.linalg.eigh(cov_matrix)
# 按特徵值大小排序，然後選擇前2個主成分進行降維idx = paddle.argsort(eigenvalues, descending=True)eigenvalues, eigenvectors = eigenvalues[idx], eigenvectors[:, idx]principal_components = eigenvectors[:, :2] # 選擇前兩個主成分X_reduced = paddle.matmul(paddle.to_tensor(X_std), principal_components) # 投影
# 繪製原始3D數據fig = plt.figure()ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')ax.scatter(X_3d[:, 0], X_3d[:, 1], X_3d[:, 2], c='blue')plt.title('Original 3D Data')
# 繪製降維後的2D數據plt.figure()plt.scatter(X_reduced[:, 0], X_reduced[:, 1], c='red')plt.title('Reduced 2D Data')plt.show()

可視化結果：

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▎更多應用

線性代數在許多領域中都有廣泛的應用，包括但不限於：

1)機器學習和數據科學：在機器學習和數據科學中，線性代數用於構建和優化模型，如線性回歸、邏輯回歸、支持向量機（SVM）、神經網絡等。矩陣運算、矩陣分解（如奇異值分解、特徵值分解）、向量空間和內積等概念在這些模型的推導、訓練和優化中起著至關重要的作用。

2)計算機圖形學：在計算機圖形學中，線性代數被用來描述和處理圖像、三維模型和動畫。例如，使用矩陣變換來實現圖像的旋轉、縮放和平移，使用向量運算來表示和處理三維空間中的物體和光線等。

3)密碼學：線性代數中的模運算和矩陣運算被廣泛應用於密碼學領域，包括對稱加密、公鑰加密、數字簽名和哈希函數等。

4)信號處理：在信號處理中，線性代數被用於處理和分析信號，如濾波、傅里葉變換、小波變換等。矩陣運算和線性方程組求解等技術在信號處理算法的設計和實現中發揮著重要作用。

5)優化問題：線性代數被廣泛用於解決優化問題，如線性規劃、凸優化等。通過矩陣運算和向量運算，可以高效地求解各種優化問題。

本文概括地介紹了線性代數的基礎知識，以及飛槳框架在一些應用領域中的使用。本文首先介紹了線性代數基礎部分，涵蓋了向量、矩陣、線性方程組、行列式、特徵值、特徵向量、內積外積以及線性變換等核心概念，這些構成了線性代數的基礎內容。接下來介紹了飛槳框架中的線性代數 API，包括矩陣屬性、矩陣計算、矩陣分解和線性方程求解等不同功能模塊。這些 API 為用戶提供了便利的線性代數計算工具。文章給出了幾個線性代數在實際應用中的例子，包括線性回歸、圖像壓縮、數據降維等。這些案例展示出線性代數在機器學習、數據科學、圖形學等領域的廣泛應用。

■ 參考文獻

• https://www.paddlepaddle.org.cn/documentation/docs/zh/api/paddle/linalg/Overview_cn.html#paddle-linalg

• https://zhuanlan.zhihu.com/p/77151308

• https://www.cnblogs.com/pinard/p/6251584.html